解题思路:(1)由f(-1+x)=f(-1-x)可得二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,于是b=2a,再由f(x)min=f(-1)=0,可得c=a,从而可求得函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=f(x)-[1/2][f(x1)+f(x2)],可证得g(x1)g(x2)<0,由零点存在定理可知存在x0∈(x1,x2),使f(x0)=[1/2][f(x1)+f(x2)]成立.
(1)∵x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立,
∴1≤f(1)≤2|1-1|+1=1,
∴f(1)=1;
∵f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
∴-[b/2a]=-1,b=2a.
∵当x∈R时,函数的最小值为0,
∴a>0,f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
∴f(x)min=f(-1)=0,
∴a=c.
∴f(x)=ax2+2ax+a.又f(1)=1,
∴a=c=[1/4],b=[1/2].
∴f(x)=[1/4]x2+[1/2]x+[1/4]=[1/4](x+1)2;
(2)令g(x)=f(x)-[1/2][f(x1)+f(x2)],则
g(x1)=f(x1)-[1/2][f(x1)+f(x2)]
=[1/2][f(x1)-f(x2)],
g(x2)=f(x2)-[1/2][f(x1)+f(x2)]
=[1/2][f(x2)-f(x1)],
∵f(x1)≠f(x2)
∴g(x1)g(x2)<0,所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一个实根,
即存在x0∈(x1,x2)使f(x0)=[1/2][f(x1)+f(x2)]成立.
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质.
考点点评: 本题主要考查二次函数求解析式,里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解,同时考查了学生分析问题和解决问题的能力,以及运算求解的能力.