Question

1的3次方加2的3次方3的3次方加4的3次方加5的3次方加到 2000的3次方

Answer 1

公式1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

所以1^3+2^3+……+2000^3=[2000(2000+1)/2]^2=2001000^2=4004001000000

下面证明一下

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1

……

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

加起来

(n+1)^4-1^4=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+1*n

因为1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1+2+……+n=n(n+1)/2

带入

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2+n

所以

4*(1^3+2^3+……+n^3)=(n+1)^4-(n+1)+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)=n^2(n+1)^2

所以1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2