（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y＝f（x）,不能把它写成f（x,y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域；一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y.
（2）待定系数法：若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f〔g（x）〕的表达式,求f（x）的表达式时可以令t＝g（x）,以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x）,或f（x）和f（1/x）的一个方程,则可以x代换－x（或1/x）,构造出另一个方程,解此方程组,消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式；要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定.（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等；
4、对复合函数y＝f〔g（x）〕的定义域的求解,应先由y＝f（u）求出u的范围,即g（x）的范围,再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域；（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集；若C＝B,那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结；（四）求函数的最值
1、设函数y＝f（x）定义域为A,则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M,则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N,则称当x＝x1时f（x）取最小值N；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值.【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系.
例1.已知函数y＝f（x）满足xy＜0,4x2－9y2＝36,求该函数解析式.
由4x2－9y2＝36可解得：
.
说明：这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的形式.2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值.
例2.已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式.
设,代入x,y的值可求得反比例系数k＝780m3/s,故所求函数关系式为.3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换.
例3.已知,试求.
设,则,代入条件式可得：,t≠1.故得：.
说明：要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形.4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解.
例4.（1）已知,试求；
（2）已知,试求；
（1）由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得：.
（2）由条件式,以－x代x则得：,与条件式联立,消去,则得：.
说明：本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出.5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系.
例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止.设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数.
由题意知：当x∈〔0,1〕时：y＝x；
当x∈（1,2）时：；
当x∈（2,3）时：；
故综上所述,有考点二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合.
例6.求的定义域.
由题意知：,从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：
{x|x－2且x≠±4}.2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集.
例7.已知函数由下表给出,求其定义域
X
1
2
3
4
5
6
Y
22
3
14
35
－6
17
{1,2,3,4,5,6}.3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围,从而解得x∈I1,又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域.也可先求出复合函数的表达式后再行求解.
又由于x2－4x＋30**
联立*、**两式可解得：例9.若函数f（2x）的定义域是〔－1,1〕,求f（log2x）的定义域.
由f（2x）的定义域是〔－1,1〕可知：2－1≤2x≤2,所以f（x）的定义域为〔2－1,2〕,故log2x∈〔2－1,2〕,解得,故定义域为.4、求解含参数的函数的定义域：一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同.
例10.求函数的定义域.
若,则x∈R；
若,则；
若,则；
故所求函数的定义域：
当时为R,当时为,当时为.
说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述.考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法.
1、分离变量法
例11.求函数的值域.
,因为,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}.
说明：这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解.2、配方法
例12.求函数y＝2x2＋4x的值域.
y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2,故值域为{y|y≥－2}.
说明：这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域.类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y＝af2（x）＋bf（x）＋c.3、判别式法
例13.求函数的值域.
可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0,由Δ≥0可解得：.
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法.要注意两点：第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0.4、单调性法
例14.求函数,x∈〔4,5〕的值域.
由于函数为增函数,故当x＝4时,ymin＝；当x＝5时,ymax＝,所以函数的值域为.5、换元法
例15.求函数的值域.
令,则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}.6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集.
例16.求函数的值域.
当x∈〔1,2〕时,y∈〔1,2〕；当x∈2,3〕时,y∈4,9〕；当x∈3,4〕时,y∈5,7〕.综上所述,y∈〔1,2〕∪3,9〕.〔本讲所涉及的主要数学思想方法〕
1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解,一般情况下都要对参变量进行分类讨论,在参变量不同的取值范围内进行求解.要特别注意对结果的表述.
2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解,以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理,通常可以考虑换元,以达到化繁为简的目的.
3、方程的思想：对某些函数解析式的求解,以及某些函数值的求解,均渗透了方程的思想,主要思路是改变原来的变量之间的角色,重新确定主元,依此主元构造方程进行求解.【模拟试题】
一.选择题
1、函数y＝f（x）的值域是〔－2,2〕,则函数y＝f（x＋1）的值域是（）
A.〔－1,3〕B.〔－3,1〕C.〔－2,2〕D.〔－1,1〕
2、已知函数f（x）＝x2－2x,则函数f（x）在区间〔－2,2〕上的最大值为（）
A.2B.4C.6D.8
3、一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,那么其解析式和定义域是（）
A.y＝20－2x（x≤10）B.y＝20－2x（x10）
C.y＝20－2x（4≤x10）D.y＝20－2x（5x10）
4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为〔a,b〕（ab）,值域也是〔a,b〕,则区间〔a,b〕是（）
A.〔0,4〕B.〔1,4〕C.〔1,3〕D.〔3,4〕
5、函数y＝f（x＋2）的定义域是〔3,4〕,则函数y＝f（x＋5）的定义域是（）
A.〔0,1〕B.〔3,4〕C.〔5,6〕D.〔6,7〕
6、函数的值域是（）
7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（）二.填空题
8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x）,则f（2）＋f（－2）＝；
9、若函数的值域为,则其定义域为；三.解答题
10、求函数的定义域.
11、已知,若f（a）＝3,求a的值.
12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x,试求f（x）的表达式.
13、某人买来120m竹篱笆,想靠墙围成一个矩形养鸡场,一边靠墙,三边用竹篱笆.设鸡场的面积为y,与墙连接一边的长为x.
（1）将y表示成x的函数；
（2）与墙连接的一边多长时,鸡场的面积最大?