解题思路：（1）利用“角角边”证明△ADF和△ABG全等，根据全等三角形对应角相等可得AF=AG，从而确定点A是FG的中点，设点A的横坐标为a，表示出点B的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A、B的纵坐标，然后求出BE=GB，从而得到点B是EG的中点；
（2）根据S△OAB=S矩形OEGF-S△AOF-S△OBE-S△ABG，然后列式计算即可得解．
（1）证明：∵AF⊥y轴，BE⊥x轴，FA的延长线与EB的延长线交于点G，
∴∠AFD=∠G=90°，
在△ADF和△ABG中，
∠AFD＝∠G＝90°
∠DAF＝∠BAG
AD＝AB，
∴△ADF≌△ABG（AAS），
∴AF=AG，
∴A为FG的中点，
设点A的横坐标为a，
则点A的纵坐标为[k/a]，点B的横坐标为2a，
∴点G的纵坐标为[k/a]，点B的纵坐标为[k/2a]，
∴GE=2BE，
即点B为EG的中点，
故A，B分别为FG、EG的中点；
（2）由图可知，S△OAB=S矩形OEGF-S△AOF-S△OBE-S△ABG，
=2a•[k/a]-[1/2]•a•[k/a]-[1/2]•a•[k/a]-[1/2]a•（[k/a]-[k/2a]），
=2k-[k/2]-[k/2]-[k/4]，
=[3/4]k，
∵S△OAB=3，
∴[3/4]k=3，
解得k=4，
所以，双曲线的解析式为y=[4/x]．
点评：
本题考点： 反比例函数综合题．
考点点评： 本题是反比例函数综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（2）用矩形的面积和直角三角形的面积表示出△OAB的面积并整理成关于k的代数式．