解题思路:本题中的函数是一个绝对值函数,可以利用绝对值不等式的性质|x-a|+|x-b|≥|a-b|求最值,为达到消去变量的目的,可将函数变形为f(x)═|x-1|+|x-[1/2]|+|x-[1/2]|+|x-[1/3]|+|x-[1/3]|+|x-[1/3]|+…+|x-[1/100]|,共有5050个绝对值相加,利用性质配对求最值即可.
f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-[1/2]|+3|x-[1/3]|+…+100|x-[1/100]|
=|x-1|+|x-[1/2]|+|x-[1/2]|+|x-[1/3]|+|x-[1/3]|+|x-[1/3]|+…+|x-[1/100]|
共有(1+100)×100×[1/2]=5050项
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
(注:|x-a|为x到a的距离…
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离,
当x在a,b之间时,|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离)
所以f(x)的5050项 前后对应每两项相加,使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f(x)≥(1-[1/100])+([1/2]-[1/100])+…+…当x在每一对a,b之间时,等号成立
由于70×(1+70)×[1/2]=2485
71×(71+1)×[1/2]=2556
所以f(x)最中间的两项(第2525,2526项)是|x-[1/71]|
所以f(x)≥(1-[1/100])+([1/2]-[1/100])+…+([1/71]-[1/71])
当x=[1/71]时等号成立
则当x=[1/71]时f(x)取得最小值
点评:
本题考点: 函数最值的应用.
考点点评: 本题考查函数求最值的应用,由于本题是一个项数很多的绝对值函数求最值,所可以借助的工具只有绝对值的性质,消去变量,判断出最小值,为此将函数解析式变形为可以利用绝对值的性质是求解本题的关键,本题考查了判断推理能力,综合运用知识变形的能力,本题解题的难点有二,一是利用绝对值不等式的性质进行变形,一是根据变形后的形式判断出最值取到的位置,本题处理数据较难,需要较高的数学素养