解题思路:由题意知当
x∈(0,
3
2
)
时f(x)=sinπx,求出f(x)=0的根,再由条件和奇函数的性质,求出一个周期[-[3/2],[3/2]]内函数零点的个数,根据f(x)是定义域为R的周期为3函数,根据周期性进行求出在区间[0,6]上的零点即可.
由题意得当x∈(0,
3
2)时,f(x)=sinπx,
令f(x)=0,则sinπx=0,解得x=1.
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(
3
2)=0,
∴在区间[-[3/2],[3/2]]上有f(-1)=f(1)=f(-[3/2])=f([3/2])=0,且f(0)=0,
∵函数f(x)是周期为3的周期函数,
则方程f(x)=0在区间[0,6]上的解有0,1,[3/2],2,3,4,[9/2],5,6,共9个.
故选A.
点评:
本题考点: 函数的周期性;正弦函数的奇偶性.
考点点评: 本题考查了函数的周期性和奇偶性的综合应用,关键结论“若奇函数经过原点,则必有f(0)=0”应用,这个关系式大大简化了解题过程,要注意在解题中使用.如果本题所给区间为开区间,则答案为7个,若区间为半开半闭区间,则答案为8个,故要注意对端点的分析.