方便起见,习惯上将二次曲线一般方程设为Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0 (A,B,C不全为0).
退化情形一般指:两条相交直线,两条平行(或重合)直线,一点(其实是一对虚直线的实交点).
典型例子分别为:x²-y² = 0,x²-1 = 0 (或x² = 0),x²+y² = 0.
可以用不变量Δ = ACF+2BDE-AE²-B²F-CD²判别退化情形,即曲线退化当且仅当Δ = 0.
证明比较繁琐,我说个大意.
首先要说明经过坐标平移(x' = x+a,y' = y+b)或坐标旋转(x' = xcos(θ)-ysin(θ),y' = xsin(θ)+ycos(θ)),
得到的新坐标系(x',y')中,二次曲线的方程与原先具有相同的Δ不变量 (所以称为"不变量").
然后说明任意二次曲线都可通过坐标旋转,使二次项中不含交叉项,即B = 0,同时保证A ≠ 0.
再通过坐标平移消去一次项,化为Ax²+Cy²+F = 0或Ax²+2Ey+F = 0形式.
最后对这两种特殊形式验证曲线退化当且仅当Δ = 0即可.
注:如果学过线性代数,可以知道Δ是3阶对称阵M = [A,B,D;B,C,E;D,E,F]的行列式.
即二次曲线退化当且仅当其对应的矩阵M退化(不可逆).