Question

已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求y=f（x2-2）的值域．

Answer 1

解题思路：因为是二次函数可设f（x）=ax²+bx+c，然后利用f（0）=0可求得c=0，再结合f（x+1）=f（x）+x+1恒等列出a，b，c的方程组求解；求y=f（x²-2）的值域，只需利用换元法，令t=x²-2≥-2，即转化为求函数f（t）=at²+bt+c在[-2，+∞）上的值域．

设函数f（x）=ax²+bx+c

∵f（0）=0，所以c=0，

即f（x）=ax²+bx，

f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+2ax+a+bx+b=f（x）+x+1=ax²+bx+x+1，

消去相同项得2ax+a+b=x+1

即2a=1，a+b=1，

解得a=b=[1/2]，

∴f（x）=[1/2x2+

1

2x=

1

2(x+

1

2)2−

1

8]，该函数在（-∞，-[1/2]）上递减，在[−

1

2，+∞）上递增，

对于函数求y=f（x²-2），令t=x²-2≥-2，所以要求函数y=f（x²-2）值域，即求函数y=f（t）在[-2，+∞）上的值域，

所以f（t）≥f（−

1

2）=-[1/8]，

所以函数y=f（x²-2）的值域为[-[1/8]，+∞）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的值．

考点点评： 本题考查利用待定系数法求函数解析式的方法，一般是由已知条件列出待定系数的方程组求解，在求此例中，要注意恒等式知识的应用，求值域的方法用的是换元法，实际上用了转化思想求解．