Question

已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，

Answer 1

（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0

令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）

∴函数f（x）为奇函数；

（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1

∴f（3）=3

∴不等式f（log ₂（x+2））+f（log ₂x）＞3等价于不等式f（log ₂（x+2））+f（log ₂x）＞f（3）

∵函数y=f（x）在定义域R上为减函数，

∴log ₂（x+2）+log ₂x＜3

∴

x+2＞0

x＞0

x(x+2)＜8 ，∴0＜x＜2

∴不等式的解集为（0，2）．