Question

设f（x）连续，且f（x）=x+2∫10f（t）dt，求f（x）

Answer 1

解题思路：

∫

1

0

f（t）dt，是一个常数，设

∫

1

0

f（t）dt=a，得到f（x）=x+a，然后建立等式a=2∫₀¹（x+a）dx，最后利用定积分的定义进行求解，问题得以解决．

∵

∫10f（t）dt，是一个常数，

设

∫10f（t）dt=a，

∴f（x）=x+a，

∴a=f（x）-x

∴f（x）=x+2

∫10f（t）dt=x+2

∫10（t+a）dt=x+2（[1/2]t²+at）|₀¹=x+2（[1/2]+a）=x+1+2a=x+1+2f（x）-2x=2f（x）-x+1

∴f（x）=x-1

点评：

本题考点： 定积分．

考点点评： 本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，以及待定系数法的应用，属于基础题．