解题思路：（1）求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
（2）求出C中不等式的解集表示出C，根据A与C交集为C得到C为A的子集，即可确定出a的范围．
（1）由A中的函数y=log2（x-1），得到x-1＞0，即x＞1，
∴A=（1，+∞），
由B中的函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，得到B=[2，+∞），
∴∁RB=（-∞，2），
则A∩（∁RB）=（1，2）；
（2）集合C中的不等式解得：x＞a，即C=（a，+∞），
∵A∩C=C，
∴C⊆A，
∴a≥1．
点评：
本题考点： 交、并、补集的混合运算；交集及其运算．
考点点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．