已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦

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（Ⅰ）设椭圆C的方程为：
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1（a＞b＞0），则a²-b²=1．①
∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，
b 2
a ）和（1，-
b 2
a ），
∴
OA •
OB =（1，
b 2
a ）•（1，-
b 2
a ）=1-
b 4
a 2 ，则1-
b 4
a 2 =
5
6 ，即a²=6b⁴．②
由①，②消去a，得6b⁴-b²-1=0．∴b²=
1
2 或b²=-
1
3 ．
当b²=
1
2 时，a²=
3
2 ．因此，椭圆C的方程为
2 x 2
3 +2y²=1．
（Ⅱ）设存在满足条件的直线l．
（1）当直线l垂直于x轴时，由（Ⅰ）的解答可知|AB|=
2 b 2
a =
6
3 ，焦点F到右准线的距离为d=
a 2
c -c=
1
2 ，
此时不满足d=
3
2 |AB|．
因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）．
由
y=k(x-1)
2 x 2
3 +2 y 2 =1 ⇒（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则x₁+x₂=
6 k 2
3 k 2 +1 ，x₁x₂=
6 k 2 -3
6 k 2 +2 ．
|AB|=
1+ k 2 |x₁-x₂|=
(1+ k 2 )[ ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ] =
(1+ k 2 )[ (
6 k 2
3 k 2 +1 ) 2 -4(
6 k 2 -3
6 k 2 +2 )] =-
6 ( k 2 +1)
3 k 2 +1 ．
又设AB的中点为M，则x_M=
x 1 + x 2
2 =
3 k 2
3 k 2 +1 ．
当△ABP为正三角形时，直线MP的斜率为k_MP=-
1
k ．
∵x_p=
3
2 ，∴|MP|=
1+
1
k 2 |x_p-x_M|=
1+
1
k 2 •（
3
2 -
3 k 2
3 k 2 +1 ）=
1+ k 2
k 2 •
3( k 2 +1)
2(3 k 2 +1) ．
当△ABP为正三角形时，|MP|=
3
2 |AB|，即
1+ k 2
k 2 •
3( k 2 +1)
2(3 k 2 +1) =
3
2 •
6 ( k 2 +1)
3 k 2 +1 ，
解得k²=1，k=±1．
因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

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