若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.

2个回答

  • 解题思路:(1)由二次函数可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1求得c的值,由f(x+1)-f(x)=2x可得a,b的值,即可得f(x)的解析式;

    (2)欲使在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,只须x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,也就是要x2-3x+1-m的最小值大于0,即可得m的取值范围.

    (1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1,

    由f(x+1)-f(x)=2x.可知,[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2x,

    化简得,2ax+a+b=2x,

    2a=2

    a+b=0,

    ∴a=1,b=-1.

    ∴f(x)=x2-x+1;

    (2)不等式f(x)>2x+m,可化简为x2-x+1>2x+m,

    即x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,

    设g(x)=x2-3x+1-m,则其对称轴为x=

    3

    2,

    ∴g(x)在[-1,1]上是单调递减函数.

    因此只需g(x)的最小值大于零即可,

    g(x)min=g(1),

    ∴g(1)>0,

    即1-3+1-m>0,解得,m<-1,

    ∴实数m的取值范围是m<-1.

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式,以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化,主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用.属于中档题.