Question

线代证明题设向量组Ⅰα1,α2,L,αm的秩为r,证明：向量组α1,α2,L,αm,β的秩仍为r的充要条件是β可有向量组

Answer 1

先证充分性：

由于β可由α1,α2,...,αm线性表示,因此向量组α1,α2,...,αm与α1,α2,...,αm,β可互相线性表示,因此两向量组等价,由于等价的向量组秩相同,则α1,α2,...,αm,β的秩为r.

必要性：

若α1,α2,...,αm,β的秩为r,

由α1,α2,...,αm的秩也为r,

则α1,α2,...,αm的极大线性无关组中含有 r 个向量,不妨设为α1,α2,...,αr,

下面考查α1,α2,...,αr,β,若该向量组线性无关,则 α1,α2,...,αm,β 中包含 r+1 个线性无关的向量,与该向量组的秩为 r 矛看,因此该向量组必线性相关.

由于α1,α2,...,αr 线性无关,

而α1,α2,...,αr,β 线性相关,则可知 β 一定可由 α1,α2,...,αr 线性表示,

因此 β 可由 α1,α2,...,αm 线性表示.