Question

已知椭圆C的两个焦点F1（-2根2,0）F2（2根2,0） (1)当直线1过F1与椭圆C交于MN两点,且MF2N的周长为

Answer 1

1）可知 c=2√2；

三角形MF2N的周长 = |MN|+|MF2|+|NF2| = |MF1| + |MF2| + |NF1| + |NF2| = 2*a+2*a = 4*a = 12

可得 ,a = 3；

b = √(a^2-c^2)=√(9-8)=1;

C的方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 即 x^2/9+y^2=1;

2）因为直线m过点P（0,2）,可设直线m为 y=kx+2；A(x1,y1),B(x2,y2);

联立直线方程和椭圆方程,消去y,可得

(9*k^2+1)*x^2+36*k*x+27=0;

于是有 x1+x2=-36k/(9*k^2+1); x1*x2=27/(9*k^2+1);

原点在以AB为直径的圆上,所以角AOB是直角,（直径所对的圆周角是直角）

所以 OA垂直OB；得到 x1*x2+y1*y2=0;

将 y1=k*x1+2 和 y2=k*x2+2 代入到上式并化简,可得

(k^2+1)*x1*x2+2*k*(x1+x2)+4=0;

代入x1*x2 和x1+x2;

得到9*k^2=31;

k=√31/3 或者 k=-√31/3

直线m为 y=√31/3 *x+2 或者 y=-√31/3 *x+2