1.求方程y'-(xy)/(x^2+1)=2x通解.
先求齐次方程的通解y'-(xy)/(x^2+1)=0,
dy/y=xdx/(x^2+1),
y=C√(x^2+1).
用常数变易法求非齐次方程通解
设y=u√(x^2+1).
dy/dx=u'√(x^2+1)+ux/√(x^2+1),
u'√(x^2+1)=2x,
u=2√(x^2+1)+C.
原方程通解为y=2(x^2+1)+C√(x^2+1).
2.计算由曲线y=3x,y=2-x^2围成的区域面积.
y=3x,y=2-x^2的交点为(a,3a),(b,3b)
其中a=(-3-√17)/2,b=(-3+√17)/2,
所求区域面积S=∫[a,b](2-x^2-3x)dx
=2(b-a)-(b^3-a^3)/3-3(b^2-a^2)/2
=(b-a)[2-(b^2+ba+a^2)/3-3(b+a)/2]
=17√17/6.