Question

已知C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)椭圆具有性质：若M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当

Answer 1

解题思路：设出M和N的坐标，代入双曲线的方程，设点P的坐标，进而表示出PM，PN的斜率，求得两斜率之积．把点P的坐标代入双曲线方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之积得表达式求得结果为常数，故可推断出k_PM•k_PN与点P的位置无关的定值．

可以通过横向类比得：若M，N是上述双曲线上关于原点O对称的两点，

点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN时，

那么k_PM与k_PN之积是与点P的位置无关的定值．

下面给出严格的证明：

设点M（m，n），则N（-m，-n），其中

m2

a2−

n2

b2＝1，又设点P的坐标

为P（x，y），则kPM＝

y−n

x−m，kPN＝

y+n

x+m，kPM•kPN＝

y2−n2

x2−m2，

注意到

m2

a2−

n2

b2＝1，点P（x，y）在双曲线

x2

a2−

y2

b2＝1上，

故y2＝b2(

x2

a2−1)，n2＝b2(

m2

a2−1)，

代入kPM•kPN＝

y2−n2

x2−m2可得：kPM•kPN＝

b2

a2(x2−m2)

x2−m2＝

点评：

本题考点： 椭圆的应用；归纳推理；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．