Question

f(x)+f[(x-1)/x]=2x x不等于0,1.求f(x).

Answer 1

我们已知

（1）f(x) + f(1-1/x) = 2x,

接下来,用1-1/x代替x写入（1）式,可知

（2）f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = 2(1-1/x),

然后,用1/(1-x)代替x写入（1）式,我们有

（3）f(1/(1-x)) + f(x) = 2(1/(1-x)),

通过观察,我们知道（1）（2）（3）等式左边的f(x)、f(1-1/x)、f(1/(1-x))各出现了2次,所以,把这三个等式左右各自叠加起来我们有

2*[f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x))] = 2*[x + (1-1/x) + (1/(1-x))]

所以有,

（4）f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = x + (1-1/x) + (1/(1-x))

利用（4）减去（2）,我们立即可以得到

f(x) = x - (1-1/x) + (1/(1-x)) = x-1 + 1/x + 1/(1-x)