Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y），

Answer 1

解题思路：（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x₂，判断f（x₂）＞f（x₁）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＞0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，

则

x

2

x

1

＞1

，进而得出结论；

（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．

证：（1）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1＞1

∴f(

x2

x1 )＞0f(x1)−f(x2)＝f(x1)−f(

x2

x1 • x1)＝f(x1)−f(

x2

x1 ) −f(x1)＝−f(

x2

x1 )＜0

∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数 （5分）

（2）令x＝

1

2，y=1得，f(

1

2×1)＝f(

1

2)+f(1)⇒f(1)＝0

令x=2，y＝

1

2得，f(1)＝f(2×

1

2)＝f(2)+f(

1

2)⇒f(2)＝1

令x=y=2得，f（4）=f（2）+f（2）=2

∴f(x)−f(

1

x−2)≥f(4)，f(x)≥f(

4

x−2)

因此，

x≥

4

x−2

x＞0

1

x−2＞0⇒x≥1+

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题要掌握定义法证明单调性的前提是x1＜x2，判断f（x2），f（x1）的大小；另外如果第一问无法准确得出，可以直接将结论应用于第二问．