Question

设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为____

Answer 1

解题思路：设P（x，y）、N（x₀，y₀），根据中点坐标公式算出OP、MN中点坐标关于x、y和x₀、y₀的式子，根据平行四边形对角线互相平分建立关系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后将点N坐标关于x、y的式子代入已知条件的圆方程，化简即得所求点P的轨迹方程．最后检验去除杂点，可得答案．

设P（x，y），圆上的动点N（x₀，y₀），则

线段OP的中点坐标为（[x/2，

y

2]），线段MN的中点坐标为（

x0-3

2，

y0+4

2），

又∵平行四边形的对角线互相平分，

∴

x

2=

x0-3

2

y

2=

y0+4

2可得

x0=x+3

y0=y-4，

∵N（x₀，y₀），即N（x+3，y-4）在圆上，

∴N点坐标应满足圆的方程，代入化简可得（x+3）²+（y-4）²=4，

直线OM与轨迹相交于两点（-

9

5，

12

5）和（-

21

5，

28

5），不符合题意，舍去

故答案为：（x+3）²+（y-4）²=4（点（-

9

5，

12

5）和（-

21

5，

28

5）除外）

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程和动点轨迹求法等知识，属于中档题．