Question

已知数列{an}的前n项和的公式为Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和Sn′．

Answer 1

解题思路：利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n=33-2n．得到当n≤16时，a_n＞0；当n≥17时，a_n＜0．进而得到当n≤16时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=S_n．当n≥17时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=S₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n=2S₁₆-S_n，即可得出．

当n=1时，a₁=S₁=32-1=31．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=32n-n²-[32（n-1）-（n-1）²]=33-2n．

当n=1时，上式也成立．

∴a_n=33-2n．

令a_n≥0，解得n≤

33

2，

∴当n≤16时，a_n＞0；当n≥17时，a_n＜0．

∴当n≤16时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=32n-n²．

当n≥17时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=S₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n

=2S₁₆-S_n=2×（32×16-16²）-（32n-n²）

=n²-32n+512．

综上可知数列{|a_n|}的前n项和S_n′=

32n−n2，n≤16

n2−32n+512，n≥17．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1”求得an、数列{|an|}的前n项和Sn′、等差数列的通项公式和前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．