Question

设f（x）在（0~正无穷）有定义,且f '(1)=1,对任意x,y,恒有f（xy）=yf(x)+f(y),求 f(x)?

Answer 1

对任意x,y,恒有f（xy）=yf(x)+f(y),则令y=1代入得：

f(x)=f(x)+f(1)

得到：f(1)=0

对f（xy）=yf(x)+f(y),两边求关于y的导,可得：xf'(xy)=f(x)+f'(y)

令y=1可得：

xf'(x)=f(x)+1

可得：f'(x)=[f(x)+1 ]/x……（1）

根据概念f'(x)=[f(x)—f(1)]/(x—1)=f（x）/(x-1)……（2）

联立（1）（2）可得：f(x)=x-1