Question

求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解,答案是y=(x+c)e^-x求过程,用常数变易法.

Answer 1

y'+y=e^-x是常系数线性非齐次方程

法一：求出齐次方程y'+y=0 (r'+1=0,r'=-1) 的通解为y=Ce^-x

再求y'+y=e^-x的一个特解,

e^(-x), q=-1, r'=-1,

设解为y=Cxe^-x

代入得C=1,即y=xe^-x为一特解

所以该方程解为y=Ce^-x+xe^-x=(x+C)e^-x

法二：方程变形为y'e^x+ye^x=1

即(ye^x)'=1

两边积分得ye^x=x+c,故y=(x+c)e^-x