Question

m×n矩阵的秩为r,a1,a2,……,a（n－r＋1）是非齐次线性方程组AX＝B的n－r＋1个线性无关的解向量,证明：a

Answer 1

证明:设 k1(a1-a(n-r+1))+k2(a2-a(n-r+1))+……+k(n-r)(a(n-r)-a(n-r+1))=0.

则 k1a1+k2a2+...+k(n-r)a(n-r)+(-k1-k2-...-k(n-r))a(n-r+1)=0

由于 a1,a2,……,a(n-r+1) 线性无关

所以 k1=k2=...=k(n-r)=0.

所以 a1-a(n-r+1),a2-a(n-r+1),……,a(n-r)-a(n-r+1)线性无关.

注:并不需要向量是方程组的解的条件,只需线性无关即可.