Question

函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上有最大值14．

Answer 1

解题思路：（1）令b=a^x构造二次函数y=b²+2b-1，然后根据a的不同范围（a＞1或0＜a＜1）确定b的范围后可解；

（2）令a^x=b^y=c^z=m，则x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，代入[1/x]+[1/y]+[1/z]=0，利用对数运算法则可求；

（1）令t=a^x，则a^2x=t²，

∴y=t²+2t-1=（t+1）²-2，对称轴t=-1，

若0＜a＜1，则t=a^x是减函数，∴a^-1＞a，

∴0＜a＜t＜[1/a]，

∴y的图象都在对称轴t=-1的右边，开口向上 并且递增，

∴t=[1/a]时有最大值，

∴y=t²+2t-1=14，∴t²+2t-15=0，∴（t-3）（t+5）=0，

∵t＞0，∴t=[1/a]=3，a=[1/3]符合0＜a＜1；

若a＞1则t=a^x是增函数，此时0＜[1/a]＜t＜a，

y的图象仍在对称轴b=-1的右边，∴还是增函数，t=a时有最大值，

∴y=t²+2t-1=14，

t＞0，∴t=a=3，符合a＞1；

综上，a=[1/3]或a=3；

（2）令a^x=b^y=c^z=m，则x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，

∴[1/x]+[1/y]+[1/z]=0，即为log_ma+log_mb+log_mc=0，

∴log_mabc=0，∴abc=1．

点评：

本题考点： 指数函数综合题．

考点点评： 本题主要考查指数函数单调性、对数运算法则及其应用，考查分类讨论思想．