解题思路：（1）将（0，-4）代入二次函数解析式即可得出m的值，再利用二次函数图象与x轴交点个数判断方法得出m的取值范围，即可得出答案；
（2）由y=-（x-m）2-m+2 知顶点为（m，-m+2），分别取m=0，2得点（0，2）和（2，0）求出过这两点的直线解析式，利用当x=m时，y=-m+2，得出对任何实数m，抛物线的顶点都在一次函数的图象L上；
（3）根据A关于y轴对称的点D（-2，0），利用C为（1）中抛物线的顶点，求出直线CD的解析式，进而得出|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|，得出M点坐标；
（4）利用切线的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质求出即可．
（1）∵抛物线与y轴交于点（0，-4），
∴将（0，-4）代入二次函数解析式得：
-m2-m+2=-4，
∴m2+m-6=0，
解得：m1=2，m2=-3，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=（2m）2-4（m2+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
∴抛物线的解析式为：
y=-x2-6x-4，
=-（x2+6x）-4，
=-（x+3） 2+5，
∴顶点（-3，5）；
（2）由y=-（x-m）2-m+2 知顶点为（m，-m+2）．
分别取m=0，2得点（0，2）和（2，0）过这两点的直线解析式为：设为y=kx+b，
∴
b＝2
2k+b＝0，
解得：
b＝2
k＝−1，
∴直线解析式为：y=-x+2，
当x=m时，y=-m+2，
∴对任何实数m，抛物线的顶点都在某一次函数的图象L上，
L的解析式为：y=-x+2；
（3）A关于y轴对称的点D（-2，0），
∵C为（1）中抛物线的顶点，
∴设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴
−2k+b＝0
−3k+b＝5，
解得：
点评：
本题考点： 二次函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；切线的判定．
考点点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的综合应用和切线的性质定理等知识，利用数形结合得出∠P1CQ1=∠CP1Q1=45°，以及CQ1=Q1P1是解决问题的关键．