Question

高中直线与椭圆关系题已知直线L:y=tanα(x+2√2)交椭圆x^2+9y^2=9 于AB两点,α为L的倾斜角,且AB

Answer 1

令tanα=k

y=kx+2√2k

代入

(1+9k^2)x^2+36√2k^2x+72k^2-9=0

x1+x2=-36√2k^2/(1+9k^2)

x1x2=(72k^2-9)/(1+9k^2)

(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=2592k^4/(1+9k^2)^2-(288k^2-36)/(1+9k^2)=(36k^2+36)/(1+9k^2)^2

y=kx+2√2k

(y1-y2)^2=[(kx1+2√2k)-(kx2+2√2k)]^2=k^2(x1-x2)^2=(36k^4+36k^2)/(1+9k^2)^2

所以AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(36k^4+72k^2+36)/(1+9k^2)^2=36(k^2+1)/(1+9k^2)^2

所以AB=6(k^2+1)/(1+9k^2)

x^2+9y^2=9

x^2/9+y^2=1

所以b=1

所以短轴=2b=2

所以AB >=2

所以6(k^2+1)/(1+9k^2)>=2

6k^2+6>=2+18k^2

k^2