Question

证明：f（x）=x+[1/x−2]在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数．

Answer 1

解题思路：利用函数单调性的定义证明．

证明：设任意的x₁，x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=(x1+

1

x1−2)-(x2−

1

x2+2)=（x₁-x₂）•

(x1−2)(x2−2)−1

(x1−2)(x2−2)

∵x₁，x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0，x₁-2＞1，x₂-2＞1，（x₁-2）（x₂-2）＞1，

∴（x₁-x₂）•

(x1−2)(x2−2)−1

(x1−2)(x2−2)＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）=x+[1/x−2]在（3，+∞）上是增函数．

同理可证，f（x）=x+[1/x−2]在（2，3]上是减函数．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查学生运用定义证明函数单调性的能力，属基础题．