求导函数,可得f′(x)=(x-1)(x-t)•e x.
(1)函数f(x)在R上无极值,则方程(x-1)(x-t)=0有等根,即t=1;
(2)当t≤1时,x∈(1,2),f′(x)>0,∴f(x)在[1,2]上单调递增,
∴f(x) min=f(1)=(t+1)e.
当1<t<2时,x∈(1,t),f′(x)<0,f(x)在[1,t)上单调递减;
x∈(t,2),f′(x)>0,f(x)在(t,2]上单调递增,
∴f(x) min=f(t)=(3-t)•e t
当t>2时,x∈(1,2),f′(x)<0,f(x)在[1,2]上单调递减,
∴f(x) min=f(2)=e 2
综上,g(t)=
(t+1)e,t≤1
(3-t)• e t ,1<t<2
e 2 ,t≥2 ;
(3)问题等价于:对任意的t∈[1,+∞),m≤g(t),即m≤g(t) min,t∈[1,+∞).
当t=1时,g(t)=2e;
当1<t<2时,g′(t)=(2-t)•e t>0,故g(t)在(1,2)上单增,且g(t)的图象连续不断,有2e=g(1)<g(t)<g(2)=e 2;
当t≥2时,g(t)=e 2
综上,m≤2e.