Question

设正实数a、b、c满足a+b+c=1,y=根号1-3a的平方+根号1-3b的平方+根号1-3c的平方,求y的范围

Answer 1

[(1-3a^2)+(1-3b^2)+(1-3c^2)](1+1+1)>=(根号1-3a的平方+根号1-3b的平方+根号1-3c的平方)^2=y^2

[(1-3a^2)+(1-3b^2)+(1-3c^2)]=3-3(a^2+b^2+c^2)

(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1

(a^2+b^2+c^2)>=1/3

[(1-3a^2)+(1-3b^2)+(1-3c^2)]=3-3(a^2+b^2+c^2)=[(1-3a^2)+(1-3b^2)+(1-3c^2)](1+1+1)>=y^2

6>=y^2

这个等号是取不到的,所以y=(1-根号3 a)^2

根号(1-3a^2)=(1+根号3 a)(1-根号3 a)>=(1-根号3 a)

b,c同理可证

根号1-3a的平方+根号1-3b的平方+根号1-3c的平方>=3-根号3 (a+b+c)=3-根号3

等号同样取不到

所以3-根号3