Question

已知：函数f（x）=x 3 +px 2 +9qx+p+q+3 （x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是实常数

Answer 1

（1）由f（-x）=-f（x），得2px ²+2（p+q+3）=0恒成立，∴p=0，q=-3．

（2）f（x）=x ³-27x，取-3≤x ₁＜x ₂≤3，则x ₁ ²+x ₁x ₂+x ₂ ²＜27．

∴f（x ₁）-f（x ₂）=（x ₁-x ₂）（x ₁ ²+x ₁x ₂+x ₂ ²-27）＞0，f（x）在[-3，3]为减函数．

（3）由（2）知f（x）在区间[-3，3]上的最小值为f（3）=-54，

∴只需f（3）=-54≥10sint-49，

由 sint≤-

1

2 ，得 t∈[2kπ-

5π

6 ，2kπ-

π

6 ] （k∈Z）．