已知二次函数f（x）=px2+qx（p≠0），其导 - 知识问答

已知二次函数f（x）=px2+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn

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解题思路：（1）由f（x）=px²+qx（p≠0），知f′（x）=2px+q=6x-2，所以f（x）=3x²-2x，由点
(n，
S
n
)(n∈
N
*
)
均在函数y=f（x）的图象上，知S_n=3n²-2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得，
c
n
＝
1
3
(
a
n
+2)＝2n−1
，
2
b
1
+
2
2
b
2
+
2
3
b
3
+…+
2
n
b
n
＝2n−1
，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（1）∵f（x）=px²+qx（p≠0），
∴f′（x）=2px+q=6x-2，
∴p=3，q=2，
∴f（x）=3x²-2x，
∵点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=3n²-2n，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-5，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5．
（2）由（1）得，cn＝
1
3(an+2)＝2n−1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn＝2n−1，
当n=1时，b1＝
1
2，…（7分）
当n≥2时，2b1+22b2+23b3+…+2n−1bn−1+2nbn＝2n−12b1+22b2+23b3+…+2n−1bn−1＝2(n−1)−1
两式相减得：bn＝
1
2n−1＝21−n，…（11分）
故数列{b_n}的通项公式：bn＝
1
2，n＝1
21−n，n≥2，n∈N*…（12分）
点评：
本题考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

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