设函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整

2个回答

  • 解题思路:先通过条件得到a,b同奇偶,然后分别讨论若a,b同为偶数与同为奇数两种情形,然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根.

    证明:f(0)=c为奇数

    f(1)=a+b+c为奇数,则a+b为偶数

    所以a,b同奇偶

    假设整数根t,所以f(t)=0 即at2+bt+c=0

    若a,b同为偶数,则at2+bt为偶数,所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0

    与at2+bt+c=0矛盾

    若a,b同为奇数,

    若t为偶数则at2+bt为偶数

    若t为奇数则at2+bt为偶数

    所以 at2+bt+c为奇数 可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾

    综上所述方程f(x)=0无整数根

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用.

    考点点评: 本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及分类讨论的数学思想,属于基础题.