Question

已知 α∈(0， π 2 ) ，x∈R，函数f（x）=sin 2 （x+α）+sin 2 （x-α）-sin 2 x．

Answer 1

解法一：（1）定义域是x∈R，

∵f（-x）=sin ²（-x-α）+sin ²（-x+α）-sin ²（-x）=sin ²（x+α）+sin ²（x-α）-sin ²x=f（x），

∴函数f（x）是偶函数．

（2）∵ f(x)=f(

π

2 -x) ，∴sin ²（x+α）+sin ²（x-α）-sin ²x=cos ²（x-α）+cos ²（x+α）-cos ²x，

移项得：cos（2x-2α）+cos（2x+2α）-cos2x=0，

展开得：cos2x（2cos2α-1）=0，

对于任意实数x上式恒成立，只有 cos2α=

1

2 ．

∵0＜2α＜π，∴ α=

π

6 ．

解法二： f(x)=

1-cos(2x+2α)

2 +

1-cos(2x-2α)

2 -

1-cos2x

2 =

1-cos2x(2cos2α-1)

2 ．

（1）定义域是x∈R，

∵ f(-x)=

1-cos(-2x)(2cos2α-1)

2 =

1-cos2x(2cos2α-1)

2 =f(x) ，

∴该函数在定义域内是偶函数．

（2）由 f(x)=f(

π

2 -x) 恒成立，

∴

1-cos2x(2cos2α-1)

2 =

1-cos2(

π

2 -x)(2cos2α-1)

2 ，

∴

1-cos2x(2cos2α-1)

2 =

1+cos2x(2cos2α-1)

2 ，

化简可得：cos2x（2cos2α-1）=0对于任意实数x上式恒成立，

只有 cos2α=

1

2 ，

∵0＜2α＜π，∴ α=

π

6 ．