Question

已知二次函数f（x）=x2+ax+c，满足不等式f（x）＜0的解集是（-2，0），

Answer 1

（Ⅰ）∵不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），

∴-2，0是方程x²+ax+c=0的两个实数根．

由韦达定理得

−2+0＝−a

−2•0＝c，解得

a＝2

c＝0，

∴f（x）=x²+2x；

（Ⅱ）∵点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，∴an+1＝an2+2an，

（ⅰ）an+1+1＝an2+2an+1＝(an+1)2，

∴lg(an+1+1)＝lg(an+1)2＝2lg(an+1)，

即b_n+1=2b_n，

∴数列{b_n}为等比数列；

（ⅱ）由（ⅰ）知b₁=lg（a₁+1）=2，公比为2，

∴bn＝2•2n−1＝2n；

又cn＝nbn＝n•2n，

∴Sn＝1•21+2•22+3•23+…+(n−1)•2n−1+n•2n，

2Sn＝，1•22+2•23+…+(n−1)•2n+n•2n+1，

错位相减得：−Sn＝1•2