Question

设x∈[2，8]时，函数f（x）=[1/2]loga（ax）•loga（a2x）（a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值

Answer 1

解题思路：由题设条件，推导出f（x）=[1/2]（log_ax+[3/2]）²-[1/8]．设t=log_ax，则f（x）=

1

2

(t+

3

2

)+1

，利用二次函数的性质能求出结果．

f（x）=[1/2]log_a（ax）•log_a（a²x）

=[1/2]（1+log_ax）•（2+log_ax）

=[1/2(logax)2+

3

2logax+1

=

1

2]（log_ax+[3/2]）²-[1/8]．

设t=log_ax，则f（x）=[1/2]（t+

3

2）²-[1/8]，

∵x∈[2，8]，函数f（x）的最大值是1，最小值是-[1/8]，

∴log_a8≤log_ax≤log_a2＜0，0＜a＜1，log_a8≤t≤log_a2，

∴当x=8时，f（x）取最大值f（8）=[1/2]（log_a8+[3/2]）²-[1/8]=1，

解得log_a8=-3或log_a8=0（舍），

∴a=[1/2]．

点评：

本题考点： 对数的运算性质．

考点点评： 本题考查对数的运算性质的应用，是中档题，解题时要注意二次函数的性质的合理运用．