Question

（2007•镇江）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列

Answer 1

解题思路：（1）把n=5，n=6分别代入进行计算；

（2）方法一：分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法运算；

方法二是通过计算几个特殊值，找到规律，再进一步计算；

（3）令a_n≥0进行分析求解；

（4）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；

②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．

（1）当n=5时，原式=25-160+247=112，

当n=6时，则原式=36-192+247=91．（2分）

（2）方法一：a_n-a_n+1=（n²-32n+247）-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n，（3分）

即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4分）

方法二：a₁-a₂=29=31-2×1，a₂-a₃=27=31-2×2，

a₃-a₄=25=31-2×3，a₄-a₅=23=31-2×4，（3分）

由此得a_n-a_n+1=31-2n，

即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4）

（3）方法一：a_n=（n²-32n+256）+247-256=（n-16）²-9，（5分）

由题设条件，当n≤13时，a_n≥0，

∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）

方法二：由a_n=n²-32n+247的图象知：当1≤n＜16时，a_n随n的增大而减小．

∵a₁₂=7＞0，a₁₃=0．

∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）

（4）①由题意得

(22−32×2+247)×54

12−32×1+247＝

187

4＝46.75(N)，

即第1层中每个仪器箱承受的平均压力为46.75N．（7分）

②当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：

(187+160+135+112)×54

216＝148.5＜160(N)

当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：

(187+160+135+112+91)×54

216＝171.25＞160(N)

因此，该仪器箱最多可以堆放5层．（8分）

点评：

本题考点： 规律型：图形的变化类．

考点点评： 本题体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考，是学生数学素养的体现．此题要能够根据所给的公式进行分析计算．