设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(−b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数,则a+b的取值范围是__

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  • 解题思路:由题意和奇函数的定义f(-x)=-f(x)求出a的值,再由对数的真数大于零求出函数的定义域,则所给的区间应是定义域的子集,求出b的范围进而求出a+b的范围.

    ∵定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg

    1+ax

    1+2x是奇函数,

    ∴任x∈(-b,b),f(-x)=-f(x),即lg

    1−ax

    1−2x=-lg

    1+ax

    1+2x,

    ∴lg

    1−ax

    1−2x=lg

    1+2x

    1+ax,则有[1−ax/1−2x=

    1+2x

    1+ax],

    即1-a2x2=1-4x2,解得a=±2,

    又∵a≠2,∴a=-2;则函数f(x)=lg

    1−2x

    1+2x,

    要使函数有意义,则[1−2x/1+2x]>0,即(1+2x)(1-2x)>0

    解得:-[1/2]<x<[1/2],即函数f(x)的定义域为:(-[1/2],[1/2]),

    ∴(-b,b)⊆(-[1/2],[1/2]),∴0<b≤[1/2]

    ∴-2<a+b≤-[3/2],即所求的范围是(−2,−

    3

    2];

    故答案为:(−2,−

    3

    2].

    点评:

    本题考点: 奇函数.

    考点点评: 本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域,利用子集关系求出b的范围,考查了学生的运算能力和对定义的运用能力.