Question

设a，b∈R且a≠2，函数 f(x)=lg 1+ax 1+2x 在区间（-b，b）上是奇函数．

Answer 1

（I）函数 f(x)=lg

1+ax

1+2x 在区间（-b，b）内是奇函数

∴对任意x∈（-b，b）都有f（-x）+f（x）=0，

∴ lg

1-ax

1-2x + lg

1+ax

1+2x = lg

1- a 2 x 2

1-4 x 2 =0

即

1- a 2 x 2

1-4 x 2 =1

即a ²x ²=4x ²，此式对任意x∈（-b，b）都成立

∴a ²=4

又∵a≠2，∴a=-2

代入

1+ax

1+2x ，得

1-2x

1+2x ＞0，即-

1

2 ＜x＜

1

2

此式对任意x∈（-b，b）都成立，相当于-

1

2 ＜-b＜b＜

1

2

所以b的取值范围是（0，

1

2 ]

∴ab的取值集合为[-1，0）

（II）设任意的x ₁，x ₂∈（-b，b），且x ₁＜x ₂，由b∈（0，

1

2 ]得

所以0＜1-2x ₂＜1-2x ₁，0＜1+2x ₁＜1+2x ₂

从而f（x ₂）-f（x ₁）= lg

1-2 x 2

1+2 x 2 - lg

1-2 x 1

1+2 x 1 = lg

(1-2 x 2 )(1+2 x 1 )

(1+2 x 2 )(1-2 x 1 ) ＜lg1=0

∴f（x ₂）＜f（x ₁）

因此f（x）在（-b，b）内是减函数