Question

（2011•娄底）如图，已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点

Answer 1

解题思路：（1）由根与系数的关系，得到x₁和x₂的关系式进而求出m的值，所以可求此二次函数的解析式；

（2）令y=0解一元二次方程，可求出B，C两点的坐标；把二次函数的解析式为y=-x²+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标；

（3）过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3，再由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），所以S=-[3/2]t²+10t=-[3/2]（t-[10/3]）²+[50/3]可求出四边形PCOH的面积S最大值．

（1）由根与系数的关系，得

x 1+

x 2=m

x 1

x 2=-4m.

∵（x₁+x₂）-x₁x₂=10，

∴m+4m=10，m=2．

∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）由-x²+2x+8=0，解得x₁=-2，x₂=4．

y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9．

∴B，C，M的坐标分别为B（4，0），C（0，8），M（1，9）．

（3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3．

∵OH=t（1＜t＜4），∴BH=4-t．

由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），

∴S=[1/2]（PH+CO）•OH

=[1/2]（12-3t+8）t

=-[3/2]t²+10t（1＜t＜4）．

S=-[3/2]t²+10t=-[3/2]（t-[10/3]）²+[50/3]．

∵1＜[10/3]＜4．

∴当t=[10/3]时，S有最大值，其最大值为[50/3]．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．