高一数学互为反函数的两个之间的关系?

4个回答

  • 反函数 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x).则y=f(x)的反函数为y=f(x)^-1.

    存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

    【反函数的性质】

    (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;

    (2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;

    (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

    (4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数.关于y轴对称的函数一定没有反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.

    (5)一切隐函数具有反函数;

    (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;

    (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】.

    (8)反函数是相互的

    (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)

    (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)

    例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

    y=2^x的反函数是y=log2 x

    例题:求函数3x-2的反函数

    y=3x-2的定义域为R,值域为R.

    由y=3x-2解得

    x=1/3(y+2)

    将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

    y=1/3(x+2)

    [编辑本段]⒈ 反函数的定义

    一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y).若对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

    说明:⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.

    ⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.

    ⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表):

    函数y=f(x)

    反函数y=f^-1(x)

    定义域

    A C

    值 域

    C A

    ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:

    若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

    开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^-1(x)=x/2-3.

    有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=X+1/X,需将X进行分类讨论:在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的.一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

    反函数的应用:

    直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.

    例6.求函数 值域.

    由原函数式可得:

    则其反函数为:,其定义域为:

    故所求函数的值域为: