设(f(X),g(X) f(x))=d(x).(g(X),g(x)-f(X))=t(X).则有d(X)|f(X).d(X)|g(X).所以d(x)|g(x)-f(x).=>d(x)|t(X).同理,t(x)|f(x).t(X)|g(X) f(X)=>t(x)|d(X).又因为d(X),t(X)首项系数为1,故d(X)=t(X).即(f(X),g(x) f(x))=(g(x),g(X)-f(X)).
设f(x),g(x)不全为零,证明(f(x),g(x)+f(x))=(g(x),g(x)-f(x))
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