Question

一个关于线性代数的问题,详见问题补充

Answer 1

若 A 列满秩,则 r(AB) = r(B)

证明:只要证明 ABX=0 与 BX=0 同解即可.

一方面,显然BX=0的解是ABX=0的解.

另一方面,设X1是ABX=0的解,则ABX1=0.

所以 A(BX1)=0

因为 A 列满秩,所以Ax=0只有0解.

所以有 BX1=0.

即X1是BX=0的解.

因此有 r(AB)=r(B).

对应有:若A行满秩,则 r(BA)=r(B)