Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），试判断△ABC的形状．

Answer 1

解题思路：利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，与已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）联立，可求得cosC（sinB+sinA）=0，从而可判断△ABC的形状．

∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

又∵sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），

∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，

∴sinA=sinCcosB-sinAcosC，

在△ABC中，sinA=sin（B+C），

∴sin（B+C）=sinCcosB-sinAcosC，即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC，

∴cosC（sinB+sinA）=0，

∵sinB＞0，sinA＞0，

∴cosC=0，

∴a²+b²=c²，

∴△ABC是直角三角形．

点评：

本题考点： 三角形的形状判断；正弦定理．

考点点评： 本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦，求得cosC（sinB+sinA）=0是转化的关键，属于中档题．