Question

已知函数f（x）=a x -a -x （a＞0且a≠1）．

Answer 1

（Ⅰ）当a＞1时，y=a ^x在R上单调递增，y= a -x =(

1

a ) x 在R上单调递减，

y=-a ^x在R上单调递增，又因为两个增函数相加所得的函数为增函数，

所以f（x）=a ^x-a ^-x在R上单调递增；

同理可得，当0＜a＜1时，原函数f（x）=a ^x-a ^-x（a＞0且a≠1）在R上单调递减．

（Ⅱ）∵f（1）=

3

2 ∴ a-

1

a =

3

2 即2a ²-3a-2=0，

∴a=2或a= -

1

2 （舍去）

∴g（x）=2 ^2x+2 ^-2x-2m（2 ^x-2 ^-x）=（2 ^x-2 ^-x） ²-2m（2 ^x-2 ^-x）+2

令t=f（x）=2 ^x-2 ^-x

∵x≥1，∴t ≥f(1)=

3

2 ∴g（t）=t ²-2mt+2=（t-m） ²+2-m ²

g（t）是关于t的二次函数的一部分，开口向上，对称轴为x=m结合图象可知：

当m ≥

3

2 时， g(t ) min =g(m)=2- m 2 =-2 ，∴m=2或m=-2（舍去）

当m ＜

3

2 时， g(t ) min =g(

3

2 )=

17

4 -3m=-2 ，∴m=

25

12 ＞

3

2 （舍去）

综上可知m=2．