Question

已知直线l：y=x+m，m∈R，若以点M（2，0）为圆心的与直线l相切于点P，且点P在y轴上．

Answer 1

解题思路：（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；

（II）假设直线l′存在，设方程为：y=x+n，代入圆方程，利用以AB为直径的圆经过坐标原点O，可得AO⊥BO，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而可得直线l′的方程

（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x-2）²+y²=r²．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有

4+m2＝r2

|2−0+m|

2＝r，解得

m＝2

r＝2

2，所以圆的方程为（x-2）²+y²=8．

（II）假设直线l′存在，设方程为：y=x+n，代入圆方程，得：（x-2）²+（x+n）²-8=0，

即2x²+（2n-4）x+n²-4=0，

设两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=-[2n−4/2＝2−n，x1•x2＝

n2−4

2]，

满足圆心M到直线l′距离d=

|2+n|

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与圆相交的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于中档题．