Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞-1；

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据已知条件中，：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞-1；令x=y=0，即可求出f（0）的值，在R上任取x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，根据f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，结合已知条件，即可判断函数的单调性；

（Ⅱ）若f（1）=1，则我们易将关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4化为f（x²+x+1）＞f（3），结合（I）的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式，进而得到答案．

（Ⅰ）令x=y=0

∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，

∴f（0）=f（0）+f（0）+1

∴f（0）=-1，

在R上任取x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，

∵当x＞0时，f（x）＞-1，

∴f（x₁-x₂）＞-1

则f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，

=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1＞f（x₂），

∴f（x）在R上是单调增函数．

（Ⅱ）由f（1）=1得：f（2）=3，f（3）=5，

则关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4可化为

关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）+1＞5，

即关于x的不等式；f（x²+x+1）＞f（3），

由（Ⅰ）的结论知f（x）在R上是单调增函数，

故x²+x+1＞3，

解得：x＜-2或x＞1，

故原不等式的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质及一元二次不等式的解法，其中解答抽象函数时根据“已知”和“未知”使用“凑”的方法，是解答抽象函数最常用的思路．