Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0

Answer 1

解题思路：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；

（2）令y=[1/x]（x≠0），由f（xy）=f（x）+f（y）及f（1）=0即可证得结论；

（3）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂）=f（

x

1

x

2

），易证＞f（

x

1

x

2

）＞0，从而可判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），

∴f（1）=0．

（2）证明：令y=[1/x]（x≠0），

则f（x•[1/x]）=f（x）+f（[1/x]）=f（1）=0，

∴f（[1/x]）=-f（x）；

（3）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，

∴

−x1

−x2=

x1

x2＞1，

由题意，f（

x1

x2）＞0，

又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），

∴f（xy）-f（y）=f（x），

∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2）＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂），

∴函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法求值，考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．