Question

（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：

Answer 1

解题思路：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；

连续利用题中第（2）个条件得到②正确；

利用反证法及2^x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；

据①②③的正确性可得④是正确的．

①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），正确；

②取x∈（2^m，2^m+1），则[x

2m∈（1，2]；f（

x

2m）=2-

x

2m，从而

f（x）=2f（

x/2]）=…=2^mf（

x

2m）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…

从而f（x）∈[0，+∞），正确；

③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，2x1-2x2=10，又，2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；

④根据前面的分析容易知道该选项正确；

综合有正确的序号是①②④．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的周期性．

考点点评： 本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．