Question

已知函数f（x）=lnx+[1/x]+ax在[2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：根据题意，已知f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，即f′（x）≤0在区间[2，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解．

f′（x）=[1/x]-[1

x2+a，∵f（x）在[2，+∞）上为减函数，

∴x∈[2，+∞）时，f′（x）=

1/x]-[1

x2+a≤0恒成立．

即a≤

1

x2-

1/x]恒成立．

设y=[1

x2-

1/x]，t＝

1

x∈（0，[1/2]]

y=t²-t=(t−

1

2)2−

1

4≥−

1

4

∴y_min=−

1

4

则a≤y_min=−

1

4

故答案为：(−∞，−

1

4]

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，解题的关键将题目转化成f′（x）≤0在区间[2，+∞）上恒成立进行求解，同时考查了参数分离法，属于中档题．